[技術分析] 移動平均(MA)與指數移動平均(EMA)

簡單移動平均

        移動平均通常是指簡單移動平均 (Simple Moving Average; SMA)，就是股票每天都有很多起起伏伏，真正的趨勢會被雜訊給掩蓋，所以我們把前幾天的股價一起拿出來平均，常用的有5日平均(MA5)、20日平均(MA20)、60日平均(MA60)，如下圖所示。

簡單移動平均公式
$$ SMA = { p_1 + p_2 + p_3  +\cdots + p_{n-1} \over n } $$
$p_1$是今天的價格
$p_2$是昨天的價格，也就是前1天的價格。
$p_3$是前天的價格，也就是前2天的價格。依此類推。
$p_{n-1}$是前n天的價格。

指數移動平均

        指數移動平均(Exponentional Moving Average)一個比較特別的概念，就是考慮不同時期的的價格對現在的影響，是指數遞減的。就像是國中失戀、高中失戀、大學失戀對現在的你來說，越近的越痛。也就是之前的股價依照經過的天數，越靠近現在的權重越重，而每一天是以幾何級數或是稱指數關係遞減。他有一個很酷的遞迴表示法。

$$\text{EMA}_{\text{today}} = \text{EMA}_{\text{yesterday}} + \alpha \times(\text{price}_{\text{today}} - \text{EMA}_\text{yesterday})$$

當然乍看這條公式，根本看不出，這裡哪裡有指數關係呢？我們可以舉幾個例子。
$\text{EMA}_1 = \text{EMA}_2 + \alpha \times(\text{price}_1 - \text{EMA}_2)$
$=\alpha\times\text{price}_1 + (1-\alpha )\times\text{EMA}_2)$

$EMA_1$是今天的指數移動平均
$EMA_2$是昨天的指數移動平均，依此類推

$price_1=p_1$是今日的價格
$\alpha$是平滑係數，是小於1的參數。

$\text{EMA}_1$
$=\alpha\times\text{p}_1 + (1-\alpha )\times\text{EMA}_2)$
$=\alpha\times\text{p}_1 + (1-\alpha )\times[\alpha\times\text{p}_2 + (1-\alpha )\times\text{EMA}_3]$
$=\alpha\times[\text{p}_1 + (1-\alpha )\times\text{p}_2]-(1-\alpha)^2\times\text{EMA}_3$

有沒有找到甚麼規則呢?
那這個關係可以一直寫下去，最後就會變成這樣，
$\text{EMA}_1$
$=\alpha\times[\text{p}_1 + (1-\alpha )\times\text{p}_2+ \cdots + (1-\alpha )^{n-1}\times\text{p}_n]-(1-\alpha)^n\times\text{EMA}_{n+1}$
就會發現，每多一天，價格的權重就會多乘$(1-\alpha )$，成指數關係，公比是$(1-\alpha )$。
而因為平滑係數小於1，所以如果考慮很長的一段時間，最後一項也就是，一減平滑係數的n+1次方再乘指數移動平均價格($(1-\alpha)^n\times\text{EMA}_{n+1}$)幾乎可以忽略。所以我們今天的指數移動平均價格就變成是
$\text{EMA}_1=\alpha\times[\text{p}_1 + (1-\alpha )\times\text{p}_2+ \cdots + (1-\alpha )^{n-1}\times\text{p}_n]$

每一天我們都可以問之前的股價是多少，可以一直問，問的無窮無盡，但是我希望如果可以的話，我想知道大概需要往前推算幾天，就可以涵蓋86%的權數。86%這個數字也不是亂挑的，他是1-$e^{-2}$，所以要怎麼算呢?

假設加了N天可以有86%的權數，

$$\frac{\alpha \times \left(1+(1-\alpha)+(1-\alpha)^2+\cdots +(1-\alpha)^N \right)} {\alpha \times \left(1+(1-\alpha)+(1-\alpha)^2+\cdots +(1-\alpha)^\infty \right)}= 1-e^{-2}=0.86$$

左邊利用等比級數的公式化簡，可以發現簡化如下：
$$1-(1-\alpha)^{N+1}=1-e^{-2}$$，
這個時候， 在1697年 Johann Bernoulli寫出了一個有趣的公式可以解決這個問題，
$$\exp(x) = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}$$
有沒有很熟悉? 所以我們令
$$\alpha=\frac{2}{N+1}$$
，就會發現如果N不太小的時候，$1-(1-\alpha)^{N+1}$就會滿接近0.86的。
所以為了讓權數接近0.86，我們希望$\alpha=\frac{2}{N+1}$，
實際試看看N=12以及N=26，發現帶入$1-(1-\alpha)^{N+1}$分別等於0.886跟0.875，很接近我們的目標，所以很夠用了。那弄懂指數移動平均，很多線圖的由來你大概就懂了。

那你會說EMA很難算我不知要怎麼算，那我教你兩種方法，
法一
在yahoo股市的技術分析指標選MACD，指道你想要的那天股價，中間就會有一排寫EMA12、EMA26囉。

法二

[技術分析] 如何看KD線(快/慢速隨機線)與威廉指標

    我以後要教育我的子女做投資，所以我想現在來編教材，這樣以後要教的時候就很簡單。

以下節錄維基百科：

隨機指標（Stochastic Oscillator，KD），原名%K&%D，是技術分析中的一種動量分析方法，採用超買和超賣的概念，由喬治·萊恩（George C. Lane）在1950年代推廣使用。指標通過比較收盤價格和價格的波動範圍，預測價格趨勢逆轉的時間。「隨機」一詞是指價格在一段時間內相對於其波動範圍的位置。

一、未成熟隨機值公式

一、先計算出「未成熟隨機值」（Raw Stochastic Value，RSV）：
$$ RSV=\frac{C_n-L_n}{H_n-L_n}\times{100}\% $$

【註】
$n$：是經過的交易期間（一般訂為9日，yahoo股市也是9日，所以會寫成K9、D9、J9）；
$\begin{smallmatrix}C_n\end{smallmatrix}$：是第n日的收盤價；
$\begin{smallmatrix}H_n\end{smallmatrix}$和$\begin{smallmatrix}L_n\end{smallmatrix}$：分别是過去$n$日内的最高價和最低價，一般以9日為基準。

如下圖：

未成熟隨機值（RSV），跟威廉指標有互補關係，兩者相加為1。

二、威廉指標公式

$$W\%R = \frac {H_n - C_n}{H_n - L_n} \times 100\%$$

【註】
$n$：是交易者設定的交易期間（yahoo使用9天）；
$\begin{smallmatrix} C_n \end{smallmatrix}$：第n日的最新收盤價；
$\begin{smallmatrix} H_n \end{smallmatrix}$：是過去n日內的最高價（如9天的最高價）；
$\begin{smallmatrix} L_n \end{smallmatrix}$：是過去n日內的最低價（如9天的最低價）。

$$ RSV+W\%R =\frac{C_n-L_n}{H_n-L_n}+\frac{H_n-C_n}{H_n-L_n}=\frac{H_n-L_n}{H_n-L_n}=1$$

三、當日的K值和D值公式：

K值是RSV值的3日指數平滑移動平均、D值是K值的3日指數平滑移動平均；

$K_n = \alpha \cdot RSV_n + (1-\alpha) \cdot K_{n-1}$
$D_n = \alpha \cdot K_n + (1-\alpha) \cdot D_{n-1}$

【註】
1.一般設定$\alpha$=1/3，$\alpha$是平滑係數，現在在股市中都約定成俗的使用1/3。
2.$\begin{smallmatrix}RSV_n\end{smallmatrix}$，為當日的RSV值；$\begin{smallmatrix}K_n, D_n\end{smallmatrix}$，為當日K值和D值；$\begin{smallmatrix}K_{n-1}, D_{n-1}\end{smallmatrix}$，為前一日的K值和D值。
3.若無前一日K值或D值，可以50%代入計算。

K值為「快速平均值」，反應較靈敏；D值為「慢速平均值」，反應較不靈敏。若K值＞D值，表示處於漲勢；反之，則處於跌勢。K值和D值，數值皆介於0%~100%之間，50%為多空平衡位置，80%以上為「超買區」（Overbought Zone），多頭強勢；20%以下為「超賣區」（Oversold Zone），空頭強勢。

如果KD值小於20，K線反轉向上摜破D線，稱為黃金交叉，是買入訊號。
如果KD值大於80，D線反轉向下摜破K線，稱為死亡交叉，是賣入訊號。
以0050為例，每次這樣的操作可以穩賺波段2-3%，明確的黃金死亡交叉一年發生約5次，如果本金大的話可以嘗試這樣操作，但是不太可能每次都可以買在最低點，賣在最高點，投資最重要的就是不要虧錢，所以穩健一點也不是壞事。

另外，一般在介紹KD時，往往還附帶一個J指標。J指標的計算公式為：

三、當日的J值公式和3K-2D：

$ J_n = 2 \cdot D_{n-1}-3 \cdot K_n $
實務上我不太會使用....我也不會看....